導引
如何解開數學謎題（摘錄）
這本書能來到你的手上，我相信絕非偶然。你可能很喜歡數學，一定也很愛思考。所以我想提前給你一些建議，這樣你就不會對接下來的謎題感到挫折。雖然我無法給大家提供普遍適用的解答策略──這種策略根本不存在，但還是有些關於如何解題的建議供你參考。如果你讀過我的其他書，那麼你可能會對其中的一、兩個建議感到熟悉，因為其他書裡有一整篇章節，是關於如何找出充滿創造力的解答方法。我在這裡將更詳盡補充說明這些建議。
不要放棄，堅持到底
如果你想解決一道難題，首先，你該把這個題目從頭到尾徹底思考一遍。就算你毫無頭緒，也不要馬上去翻答案，給自己多一點時間和耐心。你可以暫時將這道謎題放在一邊，先試試下一題，轉換一下思維，或許你就會突然開竅了。或者隔天早上刷牙時，腦中也有可能會冒出令人驚喜的解題靈感。
仔細分析題目文本
解題之前，你必須理解這道題目的意思。當你閱讀題目文本，遇到不好理解的地方時，就該注意了。題目中的這些「絆腳石」經常會提供有用的提示。舉一個和這本書中「第12題」相似的題目為例：
兩個俄羅斯數學家在飛機上偶遇。其中一個數學家問道：「你是不是有三個兒子？他們現在多大了啊？」
另一個數學家回答：「他們年齡的乘積是36，年齡的總和正是今天的日期。」提問的數學家說：「呃，這些條件還不夠。」「噢，對了，我忘說了，我大兒子有一隻狗。」那麼，數學家這三個兒子的年齡分別是幾歲呢？
為什麼會提到狗？你也覺得這一點很奇怪吧？你再仔細想一下，就會發現這裡也可以用一隻貓、一台遊戲機或一種頭髮的顏色來替代這隻狗。這句話之所以看起來很重要，是因為夾帶了其他的細節。至於怎麼解題，在這裡我先不多透露。
儘量簡化問題
我們常常會遇到有些數值很大，或者需要我們分析全部情況的題目。例如，有一百個說謊者和一百個誠實的人坐在一張桌子旁，他們在說一些奇怪的事情。要解決這類問題非常困難。你可以先嘗試簡化的版本──桌子旁邊坐著兩個說謊者和兩個只說真話的人──在簡化版的解題過程中，你或許能發現其他方法來解決更大的問題。
另闢蹊徑
離開舒適圈，放棄熟悉的思考路徑，是催生創造性想法最重要的方法之一。這一點在數學中通常很難實現，因為我們習慣運用自己學過的解答技巧。就像坐火車去旅行一樣，我們只能到達那些鋪有鐵軌的地方。換個視角或改變問題的形式，應該會很有幫助。一個與數字有關的題目，也可以從幾何的角度來解答。舉一個例子：
某個男人為了在下午兩點到達山頂的小屋，他在早上十點的時候從山谷出發，開始徒步遠足。到達山頂後，他在小屋裡住了一晚。第二天早上十點，這個男人又出發走回山谷。由於是下坡，他在下午兩點前就抵達山谷。試論證，在這兩天內，早上十點到下午兩點之間，在哪一個時間點上，這個徒步者恰好處在同一高度位置？
我們對山的高度、坡度和徒步者的速度一無所知。儘管如此，只要把這個問題改動一下，解題的方法就出來了。
兩個男人從早上十點時開始徒步遠足，最多花了四個小時。一個人從山谷向山頂走，另一個人從山頂向山谷走。試論證，早上十點到下午兩點之間，在哪一個時間點上，這兩個徒步者恰好處在同一高度位置？
解題方式就很簡單，將高度拉成直線，你只需要求出兩個徒步者在遠足途中相遇的瞬間即可。
再舉一道題為例：
1 + 2 + 3 + 4 +⋯+ 97 + 98 + 99 + 100 的總和是多少？
我們當然可以用心算或計算機來算出答案，但年輕的數學家高斯（Carl Friedrich Gauss）早就知道一種更好的方法。他將數字重新整理如下：
（1 + 100）+（2 + 99）+⋯+（50 + 51）的總和是多少？
我們可以直接得出結果為101×50 = 5050。
最後再舉一個例子。這是一個關於日曆的題目，要解這道題有一個非常特別的訣竅。
某個男人有兩個木製立方體，可以用來排出每個月從01號到31號的日期。請問這兩個立方體上有哪些數字？
要分析這個問題相對簡單，因為每個立方體最多只能放六個數字，代表我們需要將0到9的數字合理分配到這兩個立方體上。問題是，該如何分配？一個月的日期從01號開始，到31號結束，所以無論如何都會有一個11號和一個22號，即兩個立方體上都必須要有數字1和數字2。因為1到9有九個數字，而一個立方體上只能放六個不同的數字，為了排出從01號到09號的日期，兩個立方體上也必須都要有數字0。
現在兩個立方體上已經有六個面被數字0、1、2佔據，還剩下六個面的空位，可是還有3、4、5、6、7、8、9這七個數字還沒放上去啊！如果我們在第一個立方體寫上0、1、2、3、4、5，第二個立方體寫上0、1、2、6、7、8，那數字9就沒位置了，怎麼辦？難道答案根本不存在嗎？
不，答案只有一個，而且我們已經找到了──需要數字9的時候，把數字6倒過來就好了！如此，這個立方體日曆的謎題就解開了。
別被題目牽著鼻子走
有時候解一道題，最怕就是答案可能多到無法計算。例如下面這一題：
請找出所有包含數字0、1、2、3、4、5、6、7、8、9的十位數的質數（只能被1和自身整除的數）。
如果你稍微了解組合數學，就會明白這十個數字可以組合成三百多萬個不同的數。該如何檢驗每一個數是不是質數？到底是誰想出這樣一道題目？這種題型最有可能的情況是，要麼只有一個答案，要麼根本就沒有答案。我們這道題目就是屬於後者。
有一個規則可以幫助我們解決這道難題：所有由這十個數字組成的十位數，字面數字相加都是45（= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6+ 7 + 8 + 9）。45不僅可以被3整除，還可以被9整除，所以由這十個數字組成的十位數都可以被3 和9 整除，由此可知它們全都不是質數。
間接取代直接
上面的題目是關於三百多萬個不同的數，這裡我們再進一步到無限多的數。
試證明質數有無限多個。
我們可以嘗試把所有質數逐一列舉，也可以確定這種做法永遠沒完沒了，而我們永遠也無法證明質數有無限多個。面對這種問題，我們不能直接解決，而是要從間接著手，也就是繞過來解決。闖空門的人基本上都是這麼做的，他們不會撬開房屋大門上厚重的鎖，而是繞到房屋的背面，在那裡找到比較好開的地下室窗戶。
我們可以反駁論點，用這種非直接的方式來證明論點。由於數學的邏輯一致性，間接證明是完全可行的。一個論點要麼正確，要麼錯誤，互相矛盾的論點不可能同時為真。因此，我們假設質數的數量是有限的，更確切地說有n個質數。我們將這些質數列為P1、P2、P3⋯Pn，並且相乘：
P1×P2×P3×⋯×Pn
我們得到了一個有趣的自然數，它可以被n個質數整除，即P1、P2、P3⋯Pn裡的任何一個整除，因為這個自然數是所有這些質數的乘積。真正的重點來了，我們在n個質數的乘積再加上1：
P1×P2×P3×⋯×Pn + 1
所得之數也是一個自然數，然而它不能被n個質數裡的任何一個整除。更確切地說，它在做除法時總會剩下多餘的1。因此，這個自然數本身即是質數，它不包含在P1、P2、P3或Pn裡面，也不是兩個或更多質數的乘積。所以，這個質數並不屬於前面列出的n個質數，這與我們只存在n個質數的假設互相矛盾。由此可證，「質數的數量是有限的」這個假設是錯誤的。反之即意味著質數的存在有無限多個。
我知道，間接證明看起來有些奇怪，而且必須要能抓準論點的對立面。但我們不得不承認，這個方法十分有用。
